Biotop Beschreibung
Workflow Biotop

Einführung

Die Lokalisierung von Schallquellen spielt eine wichtige Rolle im täglichem Leben. Die Form des menschlichen Kopfs, des Torsos und vor allem des Außenohrs (Pinna) bewirken einen Filtereffekt für einfallenden Schall und spielen daher eine wichtige Rolle bei der Ortung einer Schallquelle. Dieser Filtereffekt kann mittels der s.g. head related transfer functions (HRTFs, kopfbezogene Übertragungsfunktionen) beschrieben werden. Diese Filterfunktionen können mittels numerischer Methoden (zum Beispiel der Randelemente Methode, BEM) berechnet werden. In BIOTOP sollen diese Berechnungen durch Anwendung adaptiver Wavelet und Frame Methoden effizienter gemacht werden.

Ziel

Verglichen mit den herkömmlichen BEM Ansatzfunktionen haben Wavelets den Vorteil, besser an gegebene Schallverteilungen angepasst werden zu können. Als Verallgemeinerung von Wavelets sollen Frames dabei helfen, eine noch flexiblere Berechnungsmethode und damit eine noch bessere Anpassung an das gegebene Problem zu entwickeln. BIOTOP verbindet abstrakte mathematische Theorie mit numerischer und angewandter Mathematik. BIOTOP ist ein internationales DACH-Projekt (DFG-FWF-SFG) zwischen der Philipps-Universität Marburg (Stephan Dahlke), der Unicersität Basel (Helmut Harbrecht) und dem Institut für Schallforschung. Die gemeinsame Erfahrung dieser drei Forschungsgruppen soll helfen, neue numerische Strategien und Methoden zu entwickeln. Das Projekt wird vom FWF (Proj. Nummer: I-1018 N25) gefördert.

 

BEM

  Mesh of the head with
pressure around the ear

Die Randelementemethode (BEM) ist eine in der Akustik oft verwendete Methode um akustische Abstrahl und Reflexionsprobleme numerisch zu lösen. In der BEM wird die Oberfläche des Objekt (in unserem Fall des Kopfes) mittels einfacher geometrischen Elemente wie Drei- oder Vierecken diskretisiert und basierende auf diesem Gitter wird die akustische Welle mittels einfacher Bausteine dargestellt. Damit die Approximation hinreichend genau wird, soll Im Allgemeinen versucht werden, pro Wellenlenge ungefähr 6 Elemente zu verwenden. Das bedeutet natürlich, dass für hohe Frequenzen viele dieser Elemente und damit auch viele Bausteine verwendet werden müssen, und Berechnungen können bis zu Tagen dauern. Ausserdem ist es auch ratsam, in der Nähe geometrischen Singularitäten wie Ecken und Kanten ebenfalls feine Gitter zu verwenden.

Warum Frames?

Um den Rechenaufwand klein zu halten, versuchen wir spezielle Bausteine zu verwenden, die sich sowohl an die oszillierende Natur der Lösung als auch an geometrische Singularitäten anpassen. Es ist bekannt, dass

  • Gabor Frames gut periodische Komponenten einer Welle auflösen können,
  • Wavelets gut mit Kantensingularitäten umgehen können.

In BIOTOP wollen wir s.g. α-modulations Frames untersuchen, die die Eigenschaften von Gabor Frames und Wavelets kombinieren. α-modulations Frames werden durch Strecken, Verschieben und Modulieren einer gegeben Fensterfunktion definiert:

  mit .

Der Parameter α steuert die Eigenschaften der Framefunktionen. Für kleine α verhalten sich die Framefunktionen ähnlich zu Gaborframes, für α nahe bei 1 befinden wir uns in der Nähe von Wavelets.

Frame functions for α=0
Frame functions for α=0
 
Frame functions for α=0.5
Frame functions for α = 0.5
Frame functions for α=1
Frame functions for α = 1
Frame functions for different α
Frame functions for different α

 

More on α-modulation frames: Michael Speckbacher, Dominik Bayer, Stephan Dahlke, Peter Balazs: The α-Modulation Transform: Admissibility, Coorbit Theory and Frames of Compactly Supported Functions

 

Events

Biotop Workshop 19-21.08.2014

The workshop was held at the International Academy Traunkirchen and provided an overview of the state-of-the-art in the research fields connected to BIOTOP, such as

  • Wavelets and frames

  • Adaptive numerical methods

  • Boundary Element Methods for the Helmholtz equation (for large wavenumbers)

  • Regularity theory (Besov, Sobolev, ...)

  • Coorbit Theory (α-modulation spaces ...)

We would like to thank all the participants for coming to Traunkirchen and for their interesting presentations

 

Biotop Workshop Teilnehmer

 

Workshop on boundary elements and adaptivity   14. - 15.03.2016, Basel