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1.3 Diskrete Gabor Analyse:

Um die Erkenntnisse der Gabor Theorie anwenden zu können, muss man sie auf endlich-dimensionale, diskrete Räume anwenden, und kann dort durch eine algorithmische Umsetzung einige Eigenschaften gut erkennen (wie zum Beispiel die Walnut-Darstellung oder die Wexler-Raz Biorthogonalität).
Die Kurzzeitfouriertransformation (STFT) ist ein beliebtes Werkzeug für Zeit Frequenz Darstellungen. Wenn nicht nur eine Darstellung sondern auch eine Modifikation wie zum Beispiel. Filterung, erwünscht ist, benötigt man eine, wenn möglich perfekte, Rekonstruktion. Das kann erreicht werden indem das kanonische duale Fenster zur Synthese verwendet wird. Dieses kann man durch Invertierung des Gabor-Frame-Operators und Anwendung auf das Analyse-Fenster erreichen. Das Analyse-Fenster wird passend zur Anwendung gewählt. Für diese Invertierung sollte ein numerisch effizienter Algorithmus gefunden werden. Der Gabor-frame-Operator hat eine spezielle spärliche Struktur und es kann gezeigt werden, dass er für eine 'dichte' Zeit-Abtastung diagonal dominant ist (beziehungsweise bei einer 'dichten' Frequenz-Abtastung eine zirkuläre Matrix).

 

Die Methoden der einfache Präkonditierens wurde untersucht und die mathematische Grundlagen erarbeitet, so ist die Abbildung einer Matrix auf ihren Diagonal-Anteil eine Projektion und damit immer die Bestapproximation. Diagonal-Matrizen und zirkulante Matrizen stehen via der Matrix-Fourier-Transformation in einem bijektiven Verhältnis, sodass äquivalente Aussagen gelten.

 

Es wurde auch die Methode der Doppelten Präkonditionierung untersucht, also zuerst Projektion auf die Diagonal-Matrizen und dann auf die zirkulären Matrizen. Numerische Experimente zeigen, dass im Falle eines Gabor frames die doppelte Präkonditionierung fast immer besser ist als die einfache. Ein weiterer interessanter Effekt ist, dass für viele 'gute' Fenster bzw. Parameter die erste Iteration, das heißt die Projektion selbst, schon ausreicht um ein 'gutes' approximatives duales Fenster zu berechnen.

 

DualeFenster
Abbildung 3: Oben: das Originalfenster, Mitte links: das kanonisch duale Fenster, Mitte rechts: das 'diagonal duale', unten links: das 'zirkulant duale', unten rechts: das 'doppelt duale'

Literaturhinweis:

  • T. Strohmer, Numerical algorithms for discrete Gabor expansions, in Gabor Analysis and Algorithms - theory and Applications, Birkhäuser Bosten (1998)
  • S. Qiu, H.G. Feichtinger, Discrete Gabor Structures and Optimal Representations, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 43, No. 10, p. 2258 (1995)
  • P. Balazs, H. G. Feichtinger, M. Hampjes, G. Kracher, Double Preconditioning for Gabor frames, submitted to IEEE Transactions On Signal Processing (2005): Abstract

Dokumente:

Kooperationen:

  • NuHAG, Fakultät für Mathematik, Universität Wien.